กฎของโคไซน์

รูปที่ 1 – กำหนดรูปสามเหลี่ยม มุม α (หรือ A), β (หรือ B), และ γ (หรือ C) เป็นมุมตรงข้ามด้าน a, b, และ c

ในตรีโกณมิติ กฎของโคไซน์ (อังกฤษ: law of cosines) เป็นกฎที่เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมกับโคไซน์ของมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมนั้น กฎของโคไซน์เขียนได้ดังสมการต่อไปนี้ กำหนดให้ชื่อของด้านและมุมเป็นไปตามรูปที่ 1

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

เมื่อ γ เป็นมุมระหว่างด้านที่มีความยาว a และ b และตรงข้ามกับด้านที่มีความยาว c

กฎของโคไซน์นั้นกล่าวครอบคลุมถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ซึ่งเป็นทฤษฎีบทสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ถ้ามุม γ เป็นมุมฉาก (มีขนาด 90° หรือ π/2 เรเดียน) แล้ว cos γ = 0 จะได้กฎของโคไซน์ที่ลดรูปเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

กฎของโคไซน์มีประโยชน์ในการคำนวณความยาวด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบความยาวด้านสองด้านและมุมที่มีด้านทั้งสองนั้นเป็นด้านประกอบ และสามารถคำนวณมุมของรูปสามเหลี่ยมได้ ถ้าทราบความยาวด้านทั้งสาม

การพิสูจน์

การใช้สูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด

รูปที่ 2 – การพิสูจน์โดยใช้พิกัดทางเรขาคณิต

พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว a, b, c, เมื่อ θ คือ ขนาดของมุมตรงข้ามของด้านยาว c รูปสามเหลี่ยมรูปนี้สามารถวางบนระบบพิกัดคาร์ทีเชียนโดยการลงจุดดังรูปที่ 2

$A=(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B=(a,\ 0),\ {\text{and}}\ C=(0,\ 0)\,$

จากสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด จะได้

$c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}\,$

จากนั้นแก้สมการ

${\begin{aligned}c^{2}&{}=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\c^{2}&{}=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \,\end{aligned}}$

ข้อดีของการพิสูจน์นี้ คือ มันไม่จำเป็นต้องพิจารณาแยกเป็นกรณีต่าง ๆ ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ลากเส้นตรง $AD\,$ ให้ตั้งฉากกับ $BC\,$

สมมติให้ $DC\,$ ยาว $x\,$ หน่วย

จาก $\cos \gamma ={\frac {x}{b}}$ ดังนั้น $x=b\,\cos \gamma$

โดยทฤษฎีบทของปีทากอรัส เราได้ว่า

$c^{2}-(a-x)^{2}=b^{2}-x^{2}\,$

$c^{2}-a^{2}+2ax-x^{2}=b^{2}-x^{2}\,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ax\,$

เนื่องจาก $x=b\,\cos \gamma$

$\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma$

นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\,\cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\,\cos \beta$

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

ดูเพิ่ม

• กฎของไซน์
• กฎของแทนเจนต์
• กฎของโคแทนเจนต์
• รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

แหล่งข้อมูลอื่น

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Cosine theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot
• Interactive applet of Law of Cosines