Напівпроста алгебра Лі

Напівпроста алебра Лі — алгебра Лі, що є прямою сумою своїх простих некомутативних ідеалів, тобто ідеалів, що є простими алгебрами Лі (тобто не містять нетривіальних ідеалів). Значення напівпростих алгебр Лі пояснюється зокрема тим, що згідно теореми Леві кожна алгебра Лі над полем характеристики 0 є прямою сумою свого радикала (максимального розв'язного ідеала) і напівпростої підалгебри.

Також для напівпростих алгебр Лі існує досить проста класифікація (особливо для алгебрично замкнутих полів) і добре розвинута теорія представлень, зокрема класифікація скінченновимірних представлень.

Комплексні напівпрості алгебри Лі відіграють ключову роль у класифікації компактних груп Лі і їх скінченновимірних представлень.

Історія

Напівпрості алгебри Лі над полем $\mathbb {C}$ були вперше розглянуті в роботах Вільгельма Кіллінга, який дав їх класифікацію, хоча в його доведеннях були прогалини, заповнені Елі Картаном. Уже в роботах Кіллінга і Картана з'явилися корені алгебри Ля як характеристичні числа оператора ad X. Елі Картан дав також класифікацію дійсних напівпростих алгебр Лі, встановивши глибокий зв'язок між цими алгебрами і глобально симетричними рімановими просторами.

Означення

Надалі розглядаються скінченновимірні напівпрості алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ над полем k характеристики 0. Скінченновимірна алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ є напівпростою тоді і тільки тоді, коли виконується будь-яка з еквівалентних умов:

${\mathfrak {g}}$ не містить ненульових абелевих ідеалів;
алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ не має ненульових розв'язних ідеалів;
форма Кіллінга алгебри ${\mathfrak {g}}$ є невирожденою (це твердження називається критерієм Картана);
радикал (максимальний розв'язний ідеал) алгебри ${\mathfrak {g}}$ є рівним нулю;
будь-яке скінченновимірне лінійне представлення алгебри є цілком звідним (інакше кажучи всякий скінченновимірний ${\mathfrak {g}}$ -модуль є напівпростим). Дане твердження називається теоремою Вейля;
одновимірні когомології алгебри ${\mathfrak {g}}$ зі значеннями в будь-якому скінченновимірному ${\mathfrak {g}}$ -модулі є тривіальними.

Властивості

Будь-який ідеал і будь-яка факторалгебра напівпростої алгебри Лі також є напівпростими.
Розклад напівпростої алгебри Лі в пряму суму неабелевих простих ідеалів є єдиним.
Центр алгебри ${\mathfrak {g}}$ є рівним нулю (оскільки центр алгебри Лі є комутативним ідеалом).
Всі диференціювання напівпростої алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ (тобто лінійні відображення $A:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ для яких $A[X,Y]=[AX,Y]+[X,AY]$ ) є внутрішніми, тобто мають вигляд $\operatorname {ad} _{X},\;X\in {\mathfrak {g}}$ . Окрім того $\operatorname {ad}$ є ізоморфізмом алгебр Лі ${\mathfrak {g}}$ і $\operatorname {Der} {\mathfrak {g}}.$ Ця алгебра є алгеброю Лі алгебричної групи всіх автоморфізмів алгебри ${\mathfrak {g}}$ і тим самим алгебричною алгеброю Лі.
Властивість напівпростоти алгебри Лі зберігається як при розширенні, так і при звуженні основного поля.
Елемент $X\in {\mathfrak {g}}$ називається напівпростим (нільпотентним), якщо $\operatorname {ad} _{X}$ є напівпростим (відповідно нільпотентним) лінійним оператором. Ця властивість елемента X зберігається при будь-якому гомоморфізмі алгебри в іншу напівпросту алгебру Лі. Якщо $X\in {\mathfrak {g}}$ , то розклад Жордана — Шевальє лінійного відображення $\operatorname {ad} _{X}$ має вигляд

\operatorname {ad} _{X}=\operatorname {ad} _{S}+\operatorname {ad} _{N}.

S і N є однозначно визначеними елементами

{\mathfrak {g}}

і N є нільпотентним, S є напівпростим, до того ж [N,S] = 0. Для будь-якого скінченновимірного представлення ρ алгебри

{\mathfrak {g}}

розклад Жордана — Шевальє ρ(x) має вигляд:

\rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,

де S і N ті ж елементи, що і для приєднаного представлення. Такий однозначний розклад для всіх представлень може не обов'язково існує для загальних алгебр Лі.

Ваги і корені

При вивченні напівпростих алгебр Лі над алгебрично замкнутим полем k суттєву роль відіграють корені напівпростої алгебри Лі, які визначаються наступним чином. Нехай ${\mathfrak {h}}$ — підалгебра Картана алгебри ${\mathfrak {g}}.$ Для ненульової лінійної функції $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}$ можна ввести лінійний підпростір ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ :

{\mathfrak {g}}_{\alpha }:=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\alpha (H)X,\;\forall H\in {\mathfrak {h}}\}.

Ненульова функція $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}$ називається коренем якщо підпростір ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ є ненульовим. Множина всіх коренів називається системою коренів алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ і позначається R. Множина R є скінченною і

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in R}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.

Властивості

Лінійною оболонкою множини R є ${\mathfrak {h}}^{*}$ і R є зведеною системою коренів в абстрактному сенсі (в лінійній оболонці системи над полем дійсних чисел). Система є незвідною тоді і тільки тоді, коли ${\mathfrak {g}}$ є простою.
Для будь-якого $\alpha \in R$ розмірність просторів ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ і $[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]$ є рівною одиниці. Існує єдиний елемент $H_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }$ для якого $\alpha (H_{\alpha })=2.$
Для кожного ненульового $X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }$ існує єдиний $Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha },$ що $[X_{\alpha },Y_{\alpha }]=H_{\alpha }.$ До того ж:

[H_{\alpha },X_{\alpha }]=2X_{\alpha },\quad [H_{\alpha },Y_{\alpha }]=2Y_{\alpha },

\beta (H_{\alpha })=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}},\;\forall \alpha ,\beta \in R.

де

(\cdot ,\cdot )

— скалярний добуток породжений формою Кіллінга.

Якщо $\alpha ,\beta \in R,\;\;\alpha +\beta \neq 0$ то підпростори ${\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }$ є ортогональними щодо форми Кіллінга і $[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]={\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }.$
Напівпрості алгебри Лі визначаються з точністю до ізоморфізму своєю підалгеброю Картана і відповідною системою коренів. Якщо ${\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{2}$ — напівпрості алгебри Лі над полем $k$ із підалгебрами Картана ${\mathfrak {h}}_{1},{\mathfrak {h}}_{2}$ і системами коренів $R_{1},R_{2},$ то всякий ізоморфізм ${\mathfrak {h}}_{1}$ і ${\mathfrak {h}}_{2},$ що індукує ізоморфізм відповідних систем коренів продовжується до ізоморфізму ${\mathfrak {g}}_{1}$ і ${\mathfrak {g}}_{2}.$ З іншого боку, будь-яка зведена система коренів може бути реалізована як система коренів деякої напівпростої алгебри Лі.

Класифікація напівпростих алгебр Лі

Для алгебрично замкнутих полів

Класифікація напівпростих алгебр Лі над алгебрично замкнутим полем k по суті збігається з класифікацією зведених систем коренів.

Прості алгебри Лі, які відповідають системам коренів типів $A_{n}-D_{n}$ називаються класичними і мають такий вигляд.

$A_{n},\;n\geqslant 1:$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1}$ , алгебра лінійних перетворень простору $k^{n+1}$ зі слідом 0.
$B_{n}:\;n\geqslant 2$ ${\mathfrak {so}}_{2n+1}$ , алгебра лінійних перетворень простору $k^{2n+1}$ , кососиметричних щодо заданої невиродженої симетричної білінійної форми.
$C_{n}:\;n\geqslant 3$ ${\mathfrak {sp}}_{n}$ , алгебра лінійних перетворень простору $k^{2n},$ кососиметричних щодо заданої невиродженої кососиметричної білінійної форми.
$D_{n}:\;n\geqslant 4$ ${\mathfrak {so}}_{2n}$ , алгебра лінійних перетворень простору $k^{2n},$ кососиметричних щодо заданої невиродженої симетричної білінійної форми.

Прості алгебри Лі, які відповідають системам коренів типів E₆, E₇, Е₈, F₄, G₂ називаються особливими, або винятковими.

Для довільних полів

Класифікація розщеплених напівпростих алгебр Лі (тобто напівпростих алгебр Лі для яких існує така підалгебра Картана ${\mathfrak {h}},$ що всі характеристичні числа операторів $\operatorname {ad} _{X},\ X\in {\mathfrak {h}}$ належать k) над довільним полем k характеристики 0 є аналогічною випадку алгебрично замкнутого поля. А саме, кожній незвідній системі коренів відповідає єдина розщеплена напівпроста алгебра Лі. Зокрема, розщеплені напівпрості алгебри Лі типів $A_{n}-D_{n}$ мають зазначений вище вид з тією різницею, що в випадках $B_{n}$ і $D_{n}$ треба розглядати невироджені симетричні білінійні форми індексу Вітта n.

Проблема класифікації довільних напівпроста алгебра Лі над k зводиться до такої задачі: перерахувати з точністю до ізоморфізму всі k-форми ${\mathfrak {g}}_{0}\subset {\mathfrak {g}}$ тобто такі k-підалгебри ${\mathfrak {g}}_{0}\subset {\mathfrak {g}},$ що ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{k}K={\mathfrak {g}},$ де K — алгебрично замкнуте розширення поля k, а ${\mathfrak {g}}$ — напівпроста алгебра Лі над K. Розв'язок цієї задачі також можна отримати в термінах систем коренів.

Класифікація дійсних алгебр Лі

Будь-яка проста неабелева алгебра Лі над полем $\mathbb {R}$ або є простою алгеброю Лі над полем $\mathbb {C}$ (що розглядається як алгебра над $\mathbb {R}$ ), або є дійсною формою простої алгебри Лі над $\mathbb {C}$ . Класифікація дійсних форм в простих класичних алгебрах Лі над $\mathbb {C}$ має такий вигляд.

$A_{n},\;n\geqslant 1:$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {C} )$

$A_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {R} )$
$A_{II}:n+1=2m,\;{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {su}}_{n+1}^{*}(\mathbb {R} )$ — підалгебра елементів з ${\mathfrak {sl}}_{2m}(\mathbb {C} ),$ що зберігають деяку кватерніонну структуру
$A_{III}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {su}}_{(p,n+1-p)}$ — підалгебра елементів з ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {C} ),$ які є кососиметричними щодо невиродженої ермітової форми додатного індексу p, де $1\leqslant p\leqslant (n+1)/2$ .

$B_{n}:\;n\geqslant 2$ ${\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbb {C} )$

$A_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {so}}_{p,2n+1,-p}(\mathbb {R} )$ — алгебра лінійних перетворень простору $\mathbb {R} ^{2n+1},$ які є кососиметричними щодо невиродженої симетричної білінійної форми додатного індексу p, де $1\leqslant p\leqslant n$ .

$C_{n}:\;n\geqslant 3$ ${\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbb {C} )$

$C_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbb {C} )$ — алгебра лінійних перетворень простору $\mathbb {R} ^{2n},$ які є кососиметричними щодо невиродженої кососиметричної білінійної форми.
$C_{II}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {sp}}_{(p,n-p)},\;\;1\leqslant p\leqslant (n+1)/2,$ — підалгебра в ${\mathfrak {su}}_{(2p,2(n-p))}$ елементи якої зберігають деяку кватерніонну структуру.

$D_{n}:\;n\geqslant 4$ ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbb {C} )$

$D_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {so}}_{p,2n-p}$ — алгебра лінійних перетворень простору $\mathbb {R} ^{2n},$ які є кососиметричними щодо невиродженої білінійної симетричної форми додатного індексу p, де $1\leqslant p\leqslant n$ .
$D_{III}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {so}}_{2n}^{*}$ — підалгебра елементів з ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbb {C} ),$ що зберігають деяку кватерніонну структуру

Див. також

Література

Dobrev, V. K. (2016). Noncompact Semisimple Lie Algebras and Groups. De Gruyter studies in mathematical physics. De Gruyter. ISBN 9783110427646.
Goto, Morikuni; Grosshans, Frank D. (1978). Semisimple Lie algebras. New York: M. Dekker. ISBN 0-8247-6744-6.
Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.
Arkady L. Onishchik (2003). Lectures on Real Semisimple Lie Algebras and Their Representations. ESI Lectures in Mathematics & Physics. European Mathematical Society. ISBN 9783037190029.
John F. Price (1977), Lie groups and compact groups, London Mathematical Society lecture note series, т. 25, Cambridge University Press, ISBN 9780521213400
Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, ISBN 978-0-486-46282-0

Напівпроста алгебра Лі

Зміст

Історія

Означення

Властивості