About: 合成代数

数学における体 K 上の合成代数（ごうせいだいすう、composition algebra）は、K 上の（必ずしも結合的でない）単位的多元環 A で、条件 を満たす非退化二次形式 N を持つ。合成代数のデータには共軛と呼ばれる対合 x ↦ x* も含まれる。付随する二次形式は N(x) = xx* として与えられ、しばしばその合成代数のノルムと呼ばれる（その意味で合成代数を「ノルム多元環」ともいうが、関数解析学にいうノルム代数とは同じものでないことに注意）。 合成代数 (A, ∗, N) は多元体（ノルム多元体）か、さもなくば分解型多元環 (split algebra) であり、それはヌルベクトル（N(v) = 0 を満たす非零元 v ∈ A）の存在によって決まる。実際、ヌルベクトルが全く存在しないとき、非零元 x の乗法逆元は x*/N(x) が与えるから、その代数は多元体である。他方ヌルベクトルが存在するとき、N は等方二次形式と呼ばれ、その代数は「分裂」(split) する（または分解型 (split type) である）と言う。