About: 有界作用素

関数解析学において有界（線形）作用素（ゆうかいさようそ、英: Bounded〈linear〉operator）とは、二つのノルム空間 X および Y の間の線型作用素 L であって、X に含まれるゼロでないすべてのベクトル v に対して L(v) のノルムと v のノルムの比が、v に依存しない1つの数によって上から評価されるようなもののことを言う。言い換えると、次を満たす線型作用素 L のことを、有界作用素と言う: ここで は X が備えるノルムである（ も同様）．上記の正定数 M の下限は L の作用素ノルムと呼ばれ、 と記述される。 X から Y への有界作用素全体の集合を として，に対して によって作用素ノルムを表すこともある． 一般的に、有界作用素は有界関数ではない。後者は、すべての v に対し L(v) のノルムが上から評価されている必要があるが、これは L が零作用素でないと起こり得ない。有界作用素はである。 線形作用素が有界であることと、連続であることは必要十分である。